CHUTE VERTICALE D’UN BALLON (Polynésie
2008 5 points)
1. Équation différentielle du mouvement
1.1.
Volume du ballon : V = 3,05 L.
Masse
volumique de l’air : r =
1,20 g.L-1.
Accélération
de la pesanteur : g = 9,81 m.s-2.
Valeurs des forces s’exerçant sur le système
{ballon gonflé + bille} :
Poids du système : P = M.g
Poussée d’Archimède : 
= mair.g
avec mair est
la masse d’air déplacé par le ballon de
baudruche de volume V (la bille a un volume
négligeable devant V)
donc = r.V.g
La force de frottement
fluide a une valeur proportionnelle au carré de la
vitesse vG :
f = k.v2G
1.2.
Etude mécanique :
- système : {ballon,bille}
- référentiel :
Terre supposé galiléen
- repère : 
.
- 2ième loi de Newton
Û 
+ 
+ 
= 
On divise par M :
1.3. L’équation est bien
de la forme :
1.4.
g est exprimé en m.s-2
:
L’unité de A est en m.s-2
A = 6,45 m.s-2.
1.5. Lorsque le système
atteint la vitesse limite vG est constant vG = vL
1.6.
Unité B :
B = 0,853 m-1
2.
Feuille de calcul du tableur
2.1. La règle permet
d’étalonner la distance sur le document vidéo.
2.2. À la date t = 0,200
s :
=
2.3. Méthode d’Euler :
entre
les dates t5 et t6 :
v (t6) – v (t5) = [A – B.v2
(t5)] . (t6 – t5)
v (t6) = v (t5) + [A – B.v2
(t5)] . (t6 – t5)
v (t6) = 1,00 + [6,45 – 0,853 ´ 1,00²
] ´
0,040 = 1,22 m.s-1
3. Courbe v = f(t) obtenue par la méthode d’Euler
3.1.
Allure de v = f(t) :
3.2.
Graphiquement, l’accélération ay(t) de la bille est égale a la pente de la tangente à la courbe en
effet effet :
.
Durant le régime transitoire,
la pente de la tangente au graphe v(t) diminue
au cours du temps donc l’accélération
diminue.
En régime permanent, la tangente est
horizontale donc son coefficient directeur est nul. La valeur de
l’accélération est nulle et la vitesse de la bille est constant