L’INFLUENCE DES CONDITIONS INITIALES SUR LE COMPORTEMENT D’UN SYSTÈME (11/2003 Nouvelle Calédonie )

Partie 1 : Un système physique

 

1.Coordonnées du vecteur vitesse initiale

         v0x = v0 . cos a

         v0y = v0. sin a

 

 

 

 

 

 

 

2. D'après l'énoncé :

et v0x = v0 . cos a ; v0y = v0. sin a

Plusieurs réponses possibles la plus simple étant :

D = 2.Vox.Voy/g

H = Voy2/(2g)

 

3. Nouvelle flèche H1

Sur la figure 2, on remarque que v1y = 2v0y et que v0x = v1x

H = Voy2/(2g)

 

Nouvelle portée D1

La forme de la trajectoire est parabolique. La parabole est :

- tangente au vecteur vitesse initiale  pour x = 0 et y = 0;

- coupe l'axe des abscisses pour x = D1 = 2D;

- à pour sommet y = H1 = 4H.

L'énoncé précise que la hauteur maximale atteinte par la balle (correspondant à y = H) correspond à l'abscisse égale à la moitié de la portée du lancer : x = D1/2 = D

 

4. La valeur v0 est plus élevée mais a n'est pas modifié.

D'après l'énoncé :

donc D et H seront plus élevées.

 

5. Etude mécanique

système : la balle

référentiel la Terre supposé référentiel galiléen

repère :

d’après la seconde loi de Newton :

Dans le repère cartésien


La condition initiale sur la vitesse est :


 

Par intégration on obtient :         

vx = v0x = v0.cos a

vy = –g.t + v0y = – g.t + v0.sin a

 

La condition initiale sur la position est :

G(x0 = 0; y0 = 0)

Par intégration on obtient :

 

x = v0.(cos a).t + x0 = v0.(cos a).t

y = –0,5.g.t² + v0.(sina).t

Pour voir un exercice similaire clique ici

 

6) Pour trouver l’équation de la trajectoire on élimine le temps t dans les équations horaires :

 


7) vx = v0x = v0.cos a

vy =  g.t + v0.sin a

 

8) Au sommet de la trajectoire :

vx = v0x = v0.cos a

vy =  g.t + v0.sin a=0