Le trébuchet (Réunion 2007 )

 

Étude du mouvement du projectile après libération
Caractéristiques du poids :

- direction: verticale

- sens: du centre d’inertie de l’objet vers le sens d’inertie de la Terre

- valeur ou intensité : P = m.g

P = 130 ´ 10 = 1,3´103 N

 

       Caractéristiques de la poussée d'Archimède :

- direction: verticale

- sens: vers le haut

       - valeur: PA = pair.V.g

       PA = 1,3 ´ 50´10–3 ´ 10 = 1,3´5,0´10–1 = 6,5´10-1 N                    (V = 50 L = 50´10–3 m3)

 

2) Rapport entre le poids P et la poussée d’Archimède:

 

 

Le valeur du poids est 2000 fois plus grande que la valeur de la poussée d'Archimède :  On peut négliger la poussée d'Archimède devant le poids.

 

 

3)      Etude mécanique :

 

Système : Le projectile

Référentiel : le sol

référentiel terrestre supposé galiléen

 

Chute libre :  le projectile n'est soumis qu'à une seule force le poids

Somme de forces extérieures au système :


Seconde loi de Newton ou principe fondamental de la dynamique :

Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures, appliquée à un système matériel, est égale au produit de sa masse, par le vecteur accélération de son centre d'inertie :


Par conséquent les coordonnées du vecteur accélération du centre d'inertie du ballon sont :

ax = O et ay = -g.

      

 

3)       

            Coordonnées du vecteur vitesse initiale

            v0x = v0 . cos a

            v0y = v0. sin a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5) Les coordonnées du vecteur accélération sont :

Dans le repère cartésien

La condition initiale sur la vitesse est :



 

Par intégration on obtient :         

vx(t) = v0x = v0.cos a

vy(t) = –g.t + v0y = – g.t + v0.sin a

 

6) vx(t) = v0x = v0.cos a

La vitesse sur l’axe Ox est constante, la trajectoire est une droite : le mouvement sur l’axe des x est rectiligne uniforme.

 

7. La condition initiale sur la position est :

G(x0 = 0; y0 = H)

vx(t) = v0x = v0.cos a

vy(t) = –g.t + v0y = – g.t + v0.sin a

 

Par intégration des équations sur les coordonnées de la vitesse :on obtient les équations horaires x(t) et y(t) :

 

x = v0.(cos a).t + x0 = v0.(cos a).t

y = –0,5.g.t² + v0.(sina).t

Pour voir un exercice similaire clique ici

 

 

8.  L'équation de la trajectoire est donnée par la relation y = f(x)

x = Vo.cos(a ).t


On reporte dans l'équation horaire y = -0,5.g.t2+Vo.sin(a ).t + H, la valeur de t :


 

9)      L'expression de la trajectoire  y(x) est de la forme: y(x) = a.x² + b.x + c  

 

Il s'agit de l'équation d'une parabole d’allure suivante :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


10)       L’équation de la trajectoire est:

.

 

 

 

H et l’intensité du champ de pesanteur g est une constante. Les deux paramètres de lancement qui jouent un rôle dans le mouvement du projectile :

- la vitesse initiale v0 et l'angle de tir a

.

 

11)     Si  le projectile est lancé avec une vitesse initiale horizontale alors a = 0 ;  cosa = 1 et tana = 0. L'équation de la trajectoire devient :

                                                             

      

 

 

 

 

 

L'abscisse du point de chute est  z = 0

                                                                                                         

                                                                                             

 

 

 

 

 

 

12)   Si x = 100 m alors: