La logan au banc d'essai (Liban 2006- 9 points) énoncé

PARTIE A: Performances et comportement routier

I - Mesures de reprises

a) Le vecteur accélération est la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse :

Dans le repère (O, ) (vitesse nulle sur l’axe y)

a_x = a₁> 0

a_x est supérieur à 0 car la vitesse sur l’axe des x augmente. v_x = v >O car le véhicule se déplace dans le sens des x croissant.

On intègre : v(t) = a₁.t + Cte

Détermination de la constante :

t = 0, v(0) = v₀ donc Cte = v₀

v(t) = a₁.t + v₀

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1.b) Vidéo

Calcul de l’accélération :

V_A = (70 000) / 3600 = 19,4 m.s^-1

Vo = (30 000) / 3600 = 8,33 m.s

2. a) Vidéo

On intègre :

x(t) = ½. a₁.t² + v₀.t + K

Détermination de la constante :à t = 0, x(0) = 0 donc K = 0 : x(t) = ½. a₁.t² + v₀.t

2.b) Distance D parcourue par la Logan

t =5.4 s

D = ½. a₁.t² + v₀.t

D = 0,5 ´ 2,1 ´ (5,4)² + (30/3,6) ´ 5,4 = 75 m.

II - Virage sur une trajectoire circulaire

1.a) Les normes des vitesses v₃ et v₅ du centre d'inertie G aux points G₃ et G₅ sont :

1.b)

échelle 1cm représente 10 m

Sur la figure 1

G₂G₄ = G₄G₆ = 2,1 cm

Dans la réalité :

G₂G₄ = G₄G₆ = 21 m

1.c)

Les vecteurs vitesses sont tangent à la trajectoire au point considéré.

d’après l’échelle (1 cm représente 2 m.s^-1)

car v₃ = v₅ = 11 m.s^-1

1.d) Le vecteur D₄ = ₅ -₃ est représenté en G₄.

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2. a) Vecteur accélération ₄

2. b) Norme de a₄

Sur le schéma : L(D₄) = 2,5 cm

échelle des vitesses (1 cm Û 2,0 m.s^-1),

Dv₄ = 2,0 ´ 2,5 = 5,0 m.s^-1.

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3.a) La direction du vecteur D₄ passe par le centre O de la trajectoire: Or le vecteur ₄ est colinéaire au vecteur variation de vitesse :

l’accélération est normale à la trajectoire et dirigée vers le centre de celle ci. Il s’agit d’une accélération centripète.

3.b) On ne peut pas négliger l'effet de l'accélération centripète devant celui de la pesanteur . En effet l’accélération dans le cas d’une chute libre est g = 9,8 m.s^-2

et a₄ = 2,5 m.s^-2

donc g n’est que 4 fois plus grand environ que a₄ (g/a₄ = 3,92)

III - Suspension

1. Le système caisse est étudié dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

On considère un axe Oz vertical vers le haut de vecteur unitaire .

1.a) Etude mécanique :

système : caisse

référentiel : terre supposé galiléen

repère (orienté vers le haut):

forces extérieures :

- le poids vertical vers le bas:

= M. = – M.g.

- force de rappel du ressort telle que:

= k. |D₀|.

La force de rappel est orientée vers le haut car le ressort est comprimé !

1.b) Principe d'inertie comme alors :

-M.g + k. |D₀| = 0

M.g = k. |D₀|

2. a) Système : {caisse de masse M + les 4 essayeurs de masse m}

= (m+M). = – (m+M).g.

La force de rappel = k. |D|.

Principe d'inertie comme alors :

M.g + m.g = k. |D|

M.g + m.g = k.( |D₀| + h )

M.g + m.g = k. |D₀| + k.h

or M.g = k. |D₀|

donc m.g = k.h

k = mg/h

2.b) vidéo

Dimension de k:

unité de mg : kg.m.s^-2 ou N ; unité de h : m ; unité de k : (kg.m.s^-2)/m = kg.s^-2ou N/m

Donc k s'exprime en kg.s^–2.

2.c) La valeur numérique de k est

3. Période propre T₀ des oscillations du système:

4. a) La caisse retrouve sa position initiale sans osciller, il s’agit du régime apériodique.

4. b) La caisse va osciller après le passage de la bosse: on observe alors des oscillations amorties. Le régime est pseudo-périodique.

5.a) La caisse subit des oscillations forcées d’amplitude maximale .le système entre en résonance. travaux pratiques

5.b) Le phénomène de résonnance est observé quand la période de l’excitateur (intervalle de temps séparant le passage sur 2 bosses consécutives) est égale à la période propre T₀ des oscillations de la caisse T₀ = 0,71 s.

5.c) D = v ´ Dt = v ´ T₀

D = (80x1000/3600) ´ 0,71 = 16 m.

5.d) Il y a résonance si la période propre du système oscillant To est égale à celle du générateur d’oscillations ():

PARTIE B : « L'injecteur par rampe commune »

I - Prévision d'un dipôle bobine-conducteur ohmique :

1. Loi d'additivité des tensions: E = u_L(t) + u_Ro (t)

En régime permanent di/dt= 0 , i = Cte = I₀

u_L(t) = L.di/dt + r.I_o = r.I_o

Loi d'Ohm: u_Ro (t) = R₀.I₀

E = u_L(t) + u_Ro (t)= r.I₀ + R₀.I₀

u_L(t) + u_Ro (t) = 0.

L.di/dt + r.i + R₀.i = 0

L.di/dt + ( r + R₀ ). i = 0

Equation différentielle du premier ordre en ‘i’

3. a)

La courbe i(t) de la figure 2, montre que la bobine s’oppose à la diminution brutale de l’intensité du courant dans le circuit (l’inductance est une forme d’inertie électrique)/

3.b)