OSCILLATEUR MÉCANIQUE HORIZONTAL (Pondichéry 2007   ;  4 points)

 

III.1.a –Expression vectorielle de la force de rappel du ressort en fonction de l'abscisse x du centre d'inertie du mobile et de vecteur unitaire :

= - k.x.

 

III.1.b –Les forces qui s'exercent sur le mobile sont :

 

Son poids de valeur P

La réaction du plan de valeur R (perpendiculaire au plan car pas de frottement)

La force de rappel de valeur F.

 

III.1.cVidéo

Dans le référentiel supposé galiléen ‘Terre’ la somme vectorielle des forces exercées sur le mobile est égale au produit de sa masse par le vecteur accélération de son centre d’inertie :

 + +  = m.


Projetons sur l’axe des x les vecteurs forces :

Fx = m.ax

-k.x = max


lll.1.d  

T0 = 0,20 s


              

 

III.2. aVidéo

Les 3 termes de l’équations sont en m.s-2

 

[av] = L.T–2     donc   [a] = L.T–2 / [v] = (L.T–2 ) / (L.T–1) = T–1 

 

 

            [bx] = L.T–2      donc   [b] = L.T–2 / [x] = (L.T–2 ) / L = T–2 

 

 

 

III.2. b


donc:

a + 60.v + 1,00.103.x = 0

a7 = – 60.v7 – 1,00.103.x7

a7 = (– 60) ´ (– 0,20) – 1,00.103 ´ 0,008 =   4,0 m.s-2

 

III.2. cVidéo

La méthode d'Euler donne :

 :

               v8 = v7 + a7 . Dt                  avec le pas Dt = 0,01 s

v8 = – 0,20 + 4,0 ´ 0,01 = – 0,16 m.s-1

              

De la même manière pour les positions :

x8 = x7 + v7 . Dt

x8 = 0,008 – 0,20 ´ 0,01 = 6x10-3 m

 

III.2. d - Courbe x= f(t)

III.2. eVidéo

Les  deux régimes possibles d'un oscillateur sont :

-le régime pseudopériodique : le mobile oscille autour de sa position d’équilibre avec une amplitude qui décroit au cours du temps (la faute aux frottements !). La pseudo période T est peu différente de celle de la période propre To (oscillation sans frottement).

 

-le régime apériodique : le solide revient à sa position d’équilibre x = 0 sans oscillations. Ce phénomène à lieu lorsqu’il y a des frottements importants.

 

La courbe ne permet pas de déterminer si la position x devient négative. Il faudrait continuer la méthode d’euler après t = 0,08 s.

 

Remarque : le cas idéal est en mouvement sans frottement, le régime est alors périodique le mouvement du centre d’inertie du solide est sinusoïdal.