Oscillations de relaxation (ICARE 99)

Un tube à décharge est alimenté à travers une résistance R = 1,0x10⁴ par une source de tension continue de force électromotrice V₀ = 120 V. La décharge lumineuse qui se produit entre ses électrodes est caractérisée par sa tension d'allumage V_a = 90 V, sa tension d'extinction V_ex (V₀ > V_a > V_ex) et par sa très faible résistance r. Lorsque le tube est éteint il se comporte comme un condensateur de capacité C =0,50x10^-6 F, v(t) < Va . Lorsqu’il est allumé ( Va < v(t) < V_ex) il se comporte comme le condensateur en parallèle avec la résistance ‘r’.

Q1

a) Le condensateur, modélisant le tube éteint, étant déchargé, on ferme, à l'instant t = 0, l'interrupteur K. Démontrer que la tension v(t) aux bornes du tube augmente selon une loi du type jusqu'à l'instant où t = t_a où s'amorce la décharge.

b) Calculer les valeurs suivantes

Q2

a) Établir l'équation différentielle du premier ordre (E) à laquelle satisfait v(t) à partir de l’instant t_a . Utiliser la petitesse de r devant R pour simplifier cette équation.

b) Déterminer l’expression de v(t)

c) En déduire l'expression de l'instant t_ex où se produit l'arrête de la décharge lumineuse ainsi que la durée de l’éclair produit dans le tube.

c) Réponse

Lorsque t = t_ex :

v(t) = V_ex

en remplaçant dans l’expression précédente

on obtient l’expression littérale de t_ex et de la durée de l’éclair produit dans le tube