Chapitre 2  : principe fondamentale de la dynamique / énergie

Feinage d'une navette spatiale dans l'atmosphère (eivp 1994 - option p’)

 

Dans tout le problème, O désigne le centre de la terre et RT son rayon . Pour un point M quelconque, on note OM = r ur et r = OM = RT + h ce qui définit l'altitude h . Les mouvements sont étudiés dans le référentiel géocentrique supposé galiléen .

 

Dans tout le problème, on néglige l'action gravitationnelle de la terre sur la navette ***

 

Freinage vertical

 

Une navette spatiale, assimilée à une masse ponctuelle m = 5.103 kg, est abandonnée à la date t = 0 à l'altitude h0 = 105 m avec une vitesse V0 = 8.103 m.s-1 . Elle décrit la verticale descendante issue de son point de départ dont le vecteur unitaire ascendant est noté ur , avec un vecteur-vitesse V = - V ur .

 

L'atmosphère exerce sur la navette une force de frottements F = µ C1V2 ur qui dépend de l'altitude via la masse volumique de l'air µ = µSexp(-h/d) avec les valeurs numériques de la question 1 ; C1 est un coefficient numérique positif lié à la forme de la navette ; pour les applications numériques, on prendra C1 = 10 m2 .

 

Q1

Ecrire le principe fondamental de la dynamique et montrer en éliminant l'altitude h et le temps t que V et µ satisfont à l'équation différentielle :   + (C1d/m) V = 0

 

2.2 En déduire l'expression de V/V0 en fonction de µ, C1d/m et de µ0 = µSexp(-h0/d) .

 

2.3 Les relations V/V0 = f(µ) et h = d ln(µS/µ) constituent l'équation de la courbe V(h) paramétrée par µ dont l'allure du graphe est donnée ci-dessous (V en m.s-1 et h en km) .

 

            Comment évolue l'efficacité du freinage en fonction de l'altitude h ? Interpréter qualitativement cette évolution . Puis calculer la vitesse V de la navette au sol .

 

2.4 On note d = - dV/dt la décélération de la navette . Exprimer d en fonction de la seule variable µ et des constantes du problème . Montrer que d passe par un maximum dM ; calculer dM/G et commenter sachant que la navette transporte des passagers .

 

2.5 Calculer d/G pour h = h0 et h = 0 . Discuter qualitativement suivant l'altitude h la validité de l'hypothèse consistant à négliger la force gravitationnelle .