Dans tout le problème, O
désigne le centre de la terre et RT son rayon . Pour un
point M quelconque, on note OM = r ur et r = OM = RT + h ce qui définit
l'altitude h . Les mouvements sont étudiés dans le référentiel géocentrique supposé
galiléen .
Dans tout le problème, on néglige l'action gravitationnelle
de la terre sur la navette ***
Freinage vertical
Une
navette spatiale, assimilée à une masse ponctuelle m = 5.103 kg, est abandonnée à la
date t = 0 à l'altitude h0 = 105 m avec une vitesse V0 = 8.103 m.s-1 . Elle décrit la
verticale descendante issue de son point de départ dont le vecteur unitaire
ascendant est noté ur , avec un vecteur-vitesse V = - V ur .
L'atmosphère exerce sur
la navette une force de frottements F = µ C1V2 ur qui dépend de
l'altitude via la masse volumique de l'air µ = µSexp(-h/d) avec les
valeurs numériques de la question 1 ; C1 est un coefficient
numérique positif lié à la forme de la navette ; pour les applications numériques,
on prendra C1 = 10 m2 .
Q1
Ecrire le principe
fondamental de la dynamique et montrer en éliminant l'altitude h et le temps t
que V et µ satisfont à l'équation différentielle : + (C1d/m) V = 0
2.2 En déduire l'expression
de V/V0 en fonction de µ, C1d/m et de µ0 = µSexp(-h0/d) .
2.3 Les relations V/V0 = f(µ) et h = d ln(µS/µ) constituent
l'équation de la courbe V(h) paramétrée par µ dont l'allure du graphe est donnée ci-dessous (V en m.s-1 et h en km) .
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Comment évolue l'efficacité du freinage en fonction de
l'altitude h ? Interpréter qualitativement cette évolution . Puis calculer la
vitesse V de la navette au sol .
2.4 On note d = - dV/dt la décélération de la navette
. Exprimer d en fonction de la seule
variable µ et des constantes du problème . Montrer que d passe par un maximum dM ; calculer dM/G et commenter sachant
que la navette transporte des passagers .
2.5 Calculer d/G pour h = h0 et h = 0 . Discuter qualitativement suivant l'altitude h
la validité de l'hypothèse consistant à négliger la force gravitationnelle .