Chapitre 4 :

ESIGETEL – 2000 Série MP

L'utilisation de toute calculatrice est interdite.

Les différentes parties sont indépendantes.

Etude d’un skieur :

On étudie le mouvement d'un skieur descendant une piste selon la ligne de plus grande pente, faisant l'angle a avec l'horizontale.

L'air exerce une force de frottement supposée de la forme = - l , où l est un coefficient constant positif et la vitesse du skieur.

On note et les composantes tangentielle et normale de la force de frottement exercée par la neige et f le coefficient de frottement solide.

On choisit comme origine de l'axe Ox de la ligne de plus grande pente la position initiale du skieur, supposé partir à l'instant initial avec une vitesse négligeable. On note Oy la normale à la piste dirigée vers le haut.

1.Donner l'unité SI de l.

2.Calculer et .

3.Calculer la vitesse et la position x du skieur à chaque instant.

4.Montrer que le skieur atteint une vitesse limite et calculer en fonction de v_l .

A.N. Calculer v_l avec l = 1 S.I. , f = 0,9 , g = 10 m/s² , m = 80 kg et a = 45°

(on prendra = 1 ,4 )

5.Calculer littéralement et numériquement la date t₁ où le skieur a une vitesse égale à .

On prendra Ln(2) = 0,7.

6.Calculer littéralement les variations d'énergie cinétique et potentielle entre t = 0 et t₁, en

fonction de m, g, t₁ , v_l et a.

7.En déduire le travail de la force de frottement entre ces mêmes instants, en fonction de m et v_l . Retrouver directement ce résultat.

8.A la date t₁, le skieur tombe. On néglige alors la résistance de l'air, et on considère que le coefficient de frottement sur le sol est multiplié par 10. Calculer la distance parcourue par le skieur avant de s'arrêter.

2^ème partie : Lancement d’un satellite :

On considère un satellite artificiel de la Terre, de masse m constante. Il est supposé soumis à la seule action du champ de gravitation terrestre.

On considère la Terre comme une sphère de masse M, à répartition uniforme de masse, de rayon R et de centre O.

A l'instant choisi comme origine des temps, le satellite est situé en un point S₀ d'altitude h et est animé d'une vitesse , orthogonale à OS₀ .

1.Préliminaire :

On rappelle la loi locale vérifiée par le champ de gravitation en un point P quelconque:

div() = - 4 p G r ,

où G est la constante de gravitation universelle et r la masse volumique en P.

1.a. Donner l'équivalent électrostatique de cette relation. Justifier l'analogie entre électrostatique et gavitation. '

1.b.Calculer le champ de gravitation et le potentiel gravitationnel V créés en tout point de l'espace par la Terre.

1.c. Montrer que le champ à l'extérieur de la Terre n'est pas modifié si on suppose seulement la répartition de masse à symétrie sphérique mais non plus uniforme.

2.Etude du mouvement du satellite :

2.a. Montrer que le mouvement du satellite est plan .

2.b. Dans le plan de la trajectoire, la position S du satellite est définie par ses coordonnées

polaires: r = OS et q = ( OS₀ , OS ).

Montrer que C = r² est constante et calculer sa valeur en fonction de R, h et v₀ .

2.c.Appliquer le principe fondamental de la dynamique au satellite. Montrer que l'équation

s'intègre en : = où est le vecteur vitesse et est un vecteur constant que l'on calculera en fonction de v₀ , C , G et M. On pose e = .

2.d. En projetant sur ,en déduire l'équation de la trajectoire sous la forme :

r = et calculer p et q₀ .

3.a.Calculer la vitesse de libération v_l à l'altitude h et donner, selon la valeur de v₀ , la nature de la trajectoire. Calculer la valeur v_C de v₀ correspondant à une trajectoire circulaire d'altitude h.

3.b.Donner l'expression de l'énergie mécanique E_m et calculer sa valeur en fonction de e, m G, M et C. Retrouver la nature de la trajectoire en fonction des valeurs de E_m .

3.c.Dars le cas d'une trajectoire elliptique, on note a le demi grand axe. Calculer E_m en fonction de a, G, m et M.

4.a. On suppose v₀ < v_l . A quelle condition, la position initiale S₀ du satellite est-elle le périgée de la trajectoire ? Dans ce cas, déterminer la position A de l'apogée et la vitesse en ce point.

4.b. En A, on modifie quasi instantanément la vitesse du satellite pour que sa trajectoire soit désormais circulaire. Calculer la vitesse en A sur la nouvelle orbite circulaire et la variation relative de vitesse.