Chapitre 1 hydrostatique

 

Force de pression exercée sur une bille (Agro 2000)

La méthode de Rückhardt permet de déterminer le rapport des capacités thermiques à pression constante et à volume constant de l'air contenu dans la bouteille représentée sur la figure 1:

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On étudie pour cela le mouvement d'une bille dans un tube en verre. La bille métallique, de diamètre très voisin de celui du tube se comporte comme un piston étanche. Lorsqu'on lâche la bille dans le tube de section s, on observe des oscillations autour d'une position d'équilibre (figure 1). La méthode consiste à mesurer la période d'oscillation q du mouvement de la bille dans le tube. Pour cela, on enregistre la pression à l'aide d'un capteur de pression pendant 20 secondes. On donne l'enregistrement sur la figure 2. On précise certains points remarquables sur la figure 3. On observe qu'à l'équilibre, la position de la bille est à 41 cm en-dessous du sommet O du tube de verre. On prendra pour axe Oz , un axe vertical ascendant dont l'origine est à l'extrémité supérieure du tube de verre (figure 1). Sur les figures 2 et 3,le temps est mesuré en secondes et la tension Vs est mesurée en volts. Nous adopterons les notations suivantes:

m = masse de la bille = 16,6 g = 1,66.10-2 kg ; s = section intérieure du tube = 2,0.10-4 m; Vo = volume total de la bouteille et du tube de verre jusqu'à O = 10,0 L ; p0 = pression atmosphérique = 1,0.105 Pa = 1,0 bar ; p = pression régnant dans le flacon ; g = accélération de la pesanteur = 9,81 m.s-2 ; Cp = capacité thermique molaire à pression constante ; Cv = capacité thermique molaire à volume constant 

T0 = température extérieure = 293 K ;T= température à un instant donné du gaz situé dans le récipient ;;z = position de la bille à un instant donné, l'origine étant prise à l'extrémité supérieure O du tube de verre ; R = constante des gaz parfaits = 8,315 J.K-1.mol-1 ; M = masse molaire de l'air = 29 g/mol ; h = viscosité de l'air ; ze = position de la bille à l'équilibre = - 41 cm ;      1bar = 105 Pa ; L'air dans la bouteille est assimilé à un gaz diatomique.

Q1

Montrer que la force de pression exercée sur une demi-sphère de rayon r par un milieu de pression uniforme po est F= popr2. On donne dS=2pr2sin(q)dq en coordonnées sphériques (figure 5).

Q2

a) Faire l'inventaire des forces qui s'exercent sur la bille.

 

b) En appliquant le principe fondamental de la dynamique ( ou théorème du centre d'inertie ) à la bille, établir l'équation du mouvement de la bille en fonction de p, po, m, g, s  et des dérivées de z par rapport au temps.

On ne demande pas de résoudre cette équation, mais on exprimera la pression à l'équilibre dans la bouteille en fonction de p0, m, g et s.