Chapitre 10 : chute verticale
Chute d'une bille dans l'air
Volume d'une sphère de rayon R:
On lâche une bille sphérique initialement au repos dans l'air. La position initiale de son centre d'inertie G est yo=0. On oriente l'axe (O,y) vers le bas. L'intensité du champ de pesanteur terrestre est : g = 9,80 N.kg-1. Masse volumique de l'air m f = 1,29kg.m-3. La masse de la bille est notée 'm' ; Rayon de la bille Rb = 10mm. Masse volumique de la bille(en fer) mB = 7,80.103 kg.m-3. Le frottement entre la bille et l'huile est de type turbulent. La force de frottement est :
k: coefficient de frottement turbulent .
: vecteur vitesse du centre d'inertie de la
bille, vy coordonnée du vecteur vitesse du centre d'inertie de la
bille sur l'axe des y .
La masse de fluide déplacée par la bille sera notée mf
On néglige dans un premier temps la force de frottement.
Q1
a). Calculer le rapport entre la norme P du poids de la
bille, et la norme 
de la poussée
d'Archimède auquel est soumise la bille dans l'air. On rappelle que la poussée
d'Archimède est égale au poids du volume de fluide déplacé. Conclusion
b) Faire l'étude mécanique du système, en précisant le système, le référentiel d'étude, le repère et le bilan des forces extérieures au système en tenant compte des simplifications de la question Q1 a)
Q2
a) Donner la loi permettant de déterminer l'accélération du centre d'inertie de la bille sur l'axe des y, ay(t)
b)En déduire les équations horaires du mouvement ay(t), vy(t) et y(t) en tenant compte des conditions initiales, dans le cas de la chute libre verticale.
c) De quel type de mouvement s'agit-il?
Q3
a) On tient maintenant compte de la force de frottement. La poussée d'Archimède sera négligé. Etablir l'expression de l'équation différentielle en vz (coordonnée du vecteur vitesse du centre d'inertie de la bille sur l'axe (O,z) ).
b) Mettre l'équation différentielle précédente sous la forme suivante, en faisant apparaître les masses volumiques de la bille et du fluide.
On précisera l’expression et l’unité de k1
c) A l'aide l'équation différentielle déterminer l'expression littérale de la vitesse limite vz(lim).
Q4
a) On relève les valeurs des altitudes z au cours du temps. En déduire d'après les résultats obtenus la méthode employée pour déterminer les valeurs des vitesses vz(t) au cours du temps.(3,30E-2=3,3.10-2)
|
t(s) |
z(m) |
v(m.s-1) |
|
0 |
0 |
0 |
|
3,30E-02 |
1,36E-03 |
1,65E-01 |
|
6,60E-02 |
1,09E-02 |
4,14E-01 |
|
9,90E-02 |
2,87E-02 |
5,17E-01 |
|
1,32E-01 |
4,50E-02 |
5,98E-01 |
|
1,65E-01 |
6,82E-02 |
7,24E-01 |
|
1,98E-01 |
9,28E-02 |
7,85E-01 |
|
2,31E-01 |
1,20E-01 |
9,12E-01 |
|
2,64E-01 |
1,53E-01 |
9,55E-01 |
|
2,97E-01 |
1,83E-01 |
9,85E-01 |
|
3,30E-01 |
2,18E-01 |
1,02E+00 |
|
3,63E-01 |
2,50E-01 |
1,02E+00 |
|
3,96E-01 |
2,85E-01 |
1,02E+00 |
|
4,29E-01 |
3,17E-01 |
1,02E+00 |
|
4,62E-01 |
3,52E-01 |
1,05E+00 |
|
4,95E-01 |
3,86E-01 |
1,03E+00 |
Tracer vz(t).
b) Quels sont les 2 régimes visibles sur la courbe ?
c) Déduire du graphique la valeur de la vitesse limite et du
temps caractéristique 
.