Chapitre 15 : énergie mécanique
FROTTEMENTS AVEC L’AIR :
QU’EN DIT LA NASA ? (Métropole 2009 5,5 points) corrigé
La
question 6 est indépendante des précédentes.
Intrigué par la notion de frottement fluide introduite en classe, un
élève recherche des informations sur la notion de force de traînée. Sur le site
de la NASA, "National Aeronautics and Space Administration", dont
l’activité se partage entre domaine spatial et aéronautisme, l’élève trouve :
"La force de traînée sur un
avion ou une navette dépend de la densité de l'air, du carré de la vitesse, de
la viscosité et de la compressibilité de l'air, de la taille et de la forme de
l'objet ainsi que de son inclinaison par rapport à l'écoulement d'air. En
général, la dépendance à l'égard de la forme du corps, de l'inclinaison, de la
viscosité et de la compressibilité de l'air est très complexe."
(d'après www.nasa.gov)
A l’issue de cette recherche, l’élève dégage deux modèles pour rendre
compte des frottements exercés par l'air sur les objets.
- modèle 1 : les frottements dépendent,
entre autres, de la viscosité de l’air hair et de la valeur v de la
vitesse du centre de gravité G du système. On exprime alors la force sous la
forme : où A est une
constante.
- modèle 2 : les frottements
dépendent, entre autres, de la masse volumique de l’air rair et du carré de v. On écrit
alors la force sous la forme : où B est une
constante.
Les constantes A et B sont liées à
la forme du corps et à son inclinaison.
Le choix entre ces deux modèles est lié à l’expérience. Son professeur
lui conseille de les appliquer à la chute verticale d’une grappe de ballons de
baudruche dont il peut lui fournir le film. Il lui donne également les valeurs
approchées des constantes A et B. Un logiciel adapté permet d’obtenir la courbe
d’évolution temporelle de la valeur v de la vitesse du centre d’inertie G du
système DE
LA FIGURE 2 DE L’ANNEXE EN PAGE 9. Le système fourni par l’ensemble des ballons de baudruche, de masse m et
de volume total V, est lâché sans vitesse initiale, dans le champ de pesanteur uniforme et vertical.
Toute l’étude de cet exercice est faite dans le référentiel terrestre supposé
galiléen, muni d’un repère (O ;) dont l’axe Oz vertical est orienté vers le bas. On pose vz = v,
valeur de la vitesse du centre d’inertie G du système.
Données pour
l’objet étudié :
Valeurs approchées de A et B
calculées à partir de la géométrie de l’objet : A » 1 ´ 10 1 m B » 2 ´ 10 -2 m 2 |
masse du système : m = 22 g valeur du champ de pesanteur : g = 9,8 m.s -2 masse volumique de l’air : rair = 1,2 kg. m -3= 1,2 g.L -1 viscosité dynamique de l'air : hair = 2 ´ 10 - |
1. Rappeler
ce que signifie le caractère uniforme du champ de pesanteur.
2. Le système est soumis à trois forces, son poids , les frottements ( ou ) et la poussée d’Archimède .
Donner les
caractéristiques de la poussée d’Archimède .
3. Si l’on choisit le modèle 1, montrer que dans le
référentiel terrestre (supposé galiléen), la vitesse v vérifie l’équation différentielle :
(1)
De
la même façon, montrer que pour le
modèle 2 on obtient l’équation suivante :
(2)
4.
Accélération initiale
4.1. Déduire des
équations différentielles l’expression littérale de a0, valeur de l’accélération à la date t = 0, en fonction de m, V,
g et rair.
(On pourra prendre indifféremment l’une ou l’autre des deux équations
différentielles pour trouver l’expression littérale de a0).
4.2. Vérifier par une
méthode graphique, sur LA FIGURE 2 DE
L’ANNEXE EN PAGE 9, que la valeur
de l’accélération initiale a0
est de l’ordre de : a0 = 6 m.s -2.
4.3. Retrouver cette
valeur par un calcul sachant que le volume V
du système est de l’ordre de
5. Vitesse limite
5.1. Déterminer
graphiquement sur LA FIGURE 2 DE
L’ANNEXE EN PAGE 9, la valeur de la vitesse limite vlim. La construction graphique devra apparaître sur la
figure.
5.2. À l’aide de
l’équation différentielle, démontrer dans le cas du modèle 1 que l’expression
de cette vitesse limite est :
On
admet également dans le cas du modèle 2 que :
(Ne pas démontrer cette relation)
5.3. Calculer la valeur
approchée de vlim,1 en
utilisant les données fournies en début d’énoncé. On rappelle que le volume V du système est de l’ordre de
5.4. Sachant que vlim,2 =
6.
Force de frottement et énergie : retour de la navette spatiale
Le travail de la force de frottement est dissipé sous forme de
chaleur ; le bouclier thermique des navettes spatiales est destiné à les
protéger lors de leur entrée dans l’atmosphère.
Pour l’expliquer sur un forum, l’élève a rédigé le texte suivant :
« La navette pèse 70 tonnes ; elle quitte une orbite
basse (
6.1. Citer les
noms des formes d’énergie que possède la navette en orbite autour de la Terre.
6.2. Dans la
phrase : « … il faut dissiper 2 térajoules
en 2000 secondes, soit 1 mégawatt moyen », donner le nom
des deux grandeurs physiques dont les
valeurs numériques sont soulignées.
6.3. En ne prenant
en compte que la variation de vitesse comme le suggère l’élève, calculer la valeur
des deux grandeurs citées dans la question précédente, à partir des données
fournies dans le texte.
Vos résultats sont-ils
en accord avec ceux de l’élève ?
Rappels :
1 térajoule = 1 TJ = 10 12 J 1 mégawatt = 1 MW = 10 6 W
ANNEXE DE L’EXERCICE II
Figure
2 : courbe
d’évolution temporelle de la valeur v de la vitesse
du
centre d’inertie G du système