chapitre 12 : mouvement des satellites et des planètes

lancement d'un satellite météorologique

Le centre spatial de Kourou a lancé le 21 décembre 2005, avec une fusée Ariane 5, un satellite de météorologie de seconde génération baptisé MSG-2. Tout comme ses prédécesseurs, il est placé sur une orbite géostationnaire à 36000 km d'altitude. Opérationnel depuis juillet 2006, il porte maintenant le nom de Météosat 9. Les satellites de seconde génération sont actuellement les plus performants au monde dans le domaine de l'imagerie météorologique. Ils assureront jusqu'en 2018 la fourniture de données météorologiques, climatiques et environnementales. L'objectif de cet exercice est d'étudier plusieurs étapes de la mise en orbite de ce satellite.

Les parties 1, 2 et 3 de cet exercice sont indépendantes. Certaines aides au calcul peuvent comporter des résultats ne correspondant pas au calcul à effectuer.

Partie 1. Décollage de la fusée Ariane 5

Pour ce lancement, la fusée Ariane 5 a une masse totale M. Sa propulsion est assurée par un ensemble de dispositifs fournissant une force de poussée verticale constante . Tout au long du décollage, on admet que la valeur du champ de pesanteur g est également constante. On étudie le mouvement du système { fusée } dans le référentiel terrestre supposé galiléen et on choisit un repère ( O,) dans lequel est un vecteur unitaire vertical dirigé vers le haut et porté par l’axe Oy.

À l'instant t₀ = 0 s, Ariane 5 est immobile et son centre d'inertie G est confondu avec l'origine O.

On utilise les notations :

a valeur de l'accélération du centre d'inertie de la fusée, avec v valeur de la vitesse de son centre d'inertie, avec  ; y valeur de la position de son centre d'inertie, avec

Données :

Masse totale de la fusée M = 7,3 10 ⁵ kg ; Force de poussée F = 1,16 10 ⁷ N ; Intensité de pesanteur g = 10 m.s ^– 2

1.1. Cas idéal

Dans ce cas, on supposera que seuls le poids et la force de poussée agissent sur la fusée. Pendant la durée de fonctionnement, on admettra que la masse de la fusée reste constante.

1.1.1. Sans faire de calcul, représenter ces forces sur un schéma pendant le décollage.

1.1.2. En appliquant une loi de Newton au système { fusée }, trouver l'expression littérale de la valeur a de l'accélération dès que la fusée a quitté le sol (on déterminera dans un premier temps la coordonnée de l’accélération sur l’axe des y ,a_y)..

1.1.3. Calculer la valeur de cette accélération a.

1.1.4. Pendant le lancement, on suppose que la valeur de l'accélération reste constante.

Déterminer l'équation horaire de la valeur v_y(t) de la vitesse (coordonnée de la vitesse sur l’axe des y).

1.1.5. En déduire l'équation horaire de la valeur y(t) de la position.

1.1.6. La trajectoire ascensionnelle de la fusée reste verticale jusqu’à la date t₁ = 6,0 s.

Quelle distance la fusée a-t-elle parcourue depuis son décollage ?

Aide au calcul : 1,16 7,3 = 8,5 ; 1,16/7,3 = 1,6x10^-1 ; 7,3/1,6 = 6,3

1.2. Cas réel

Au cours de ce lancement, Ariane 5 a en fait parcouru un peu moins de 90 m pendant les 6 premières secondes. Citer un phénomène permettant d’interpréter cette donnée. Dans la suite de l'exercice, on suppose que la Terre est une sphère de centre T, de masse M_T , de rayon R_T  et qu'elle présente une répartition de masse à symétrie sphérique. On assimile par ailleurs le satellite à son centre d'inertie S. L’étude de son mouvement se fait dans un référentiel géocentrique supposé galiléen.

Données :

Masse de la Terre : M_T = 6,0 10 ²⁴ kg

Rayon de la Terre : R_T = 6,4 10 ³ km

Constante de gravitation universelle : G = 6,67 10 ^–11  kg ^–1 . m³.s^-2

Partie 2. Mise en orbite basse du satellite

La mise en orbite complète du satellite MSG-2 de masse m = 2,0 ´ 10 ³ kg s'accomplit en deux étapes. Dans un premier temps, il est placé sur une orbite circulaire à vitesse constante v_S à basse altitude h = 6,0 10 ² km autour de la Terre et il n'est soumis qu’à la force gravitationnelle exercée par la Terre.

On choisit un repère ( S,,) dans lequel est un vecteur unitaire tangent à la trajectoire dans le sens du mouvement et un vecteur unitaire perpendiculaire à la trajectoire orienté vers le centre de la Terre.

2.1. Donner l'expression vectorielle de la force gravitationnelle exercée par la Terre sur le satellite en fonction des données (donner son expression dans le repère de Frénet).

2.2. En appliquant une loi de Newton, trouver l'expression du vecteur accélération du centre d'inertie du satellite.

2.3. Sans souci d'échelle, représenter sur un schéma, à un instant de date t quelconque, la Terre, le satellite, le repère ( S,,) ainsi que le vecteur accélération .

2.4. Déterminer l'expression de la vitesse v_S du centre d'inertie du satellite. Vérifier que sa valeur est de l’ordre de 7,6 10 ³ m.s^–1 sur son orbite basse.

Aide au calcul
1,24 6,1 ≈ 7,6	6,67 6,0 ≈ 4,0 10^1	≈ 1,2	≈ 7,6 10^–^1

2.5. On note T le temps mis par le satellite pour faire un tour autour de la Terre.

Comment appelle t-on cette grandeur ? Montrer qu'elle vérifie la relation : .

Partie 3. Transfert du satellite en orbite géostationnaire

Une fois le satellite MSG-2 placé sur son orbite circulaire basse, on le fait passer sur une orbite géostationnaire à l'altitude h' = 3,6 10 ⁴ km. Ce transit s'opère sur une orbite de transfert qui est elliptique. Le schéma de principe est représenté sur la figure 6 page 7. Le périgée P est sur l'orbite circulaire basse et l'apogée A est sur l'orbite définitive géostationnaire.À un moment convenu, lorsque le satellite est au point P de son orbite circulaire basse, on augmente sa vitesse de façon bien précise : il décrit ainsi une orbite elliptique de transfert afin que l'apogée A de l'ellipse soit sur l'orbite géostationnaire définitive. On utilise pour cela un petit réacteur qui émet en P, pendant un très court instant, un jet de gaz donnant au satellite l'impulsion nécessaire.

3.1. Énoncer la deuxième loi de Kepler, ou "loi des aires".

3.2. Montrer, en s’aidant éventuellement d’un schéma, que la vitesse du satellite MSG-2 n'est pas constante sur son orbite de transfert. Préciser en quels points de son orbite de transfert sa vitesse est :

- maximale ;

- minimale.

3.3. Exprimer la distance AP en fonction de R_T, h et h'. Montrer que AP = 4,910 ⁷ m.

3.4. Dans le cas de cette orbite elliptique, la durée de révolution pour faire un tour complet de l’orbite vaut T ’ = 10h 42min.

Déterminer la durée minimale Dt du transfert du satellite MSG-2 du point P de son orbite basse au point A de son orbite géostationnaire définitive.

3.5. Le satellite étant arrivé au point A, on augmente à nouveau sa vitesse pour qu'il décrive ensuite son orbite géostationnaire définitive. Le lancement complet du satellite est alors achevé et le processus permettant de le rendre opérationnel peut débuter.

Expliquer pourquoi il est judicieux de lancer les satellites géostationnaires d’un lieu proche de l’équateur comme Kourou en Guyane.