On
considère les deux oscillateurs idéaux suivants (voir figures A et B ci-dessus)
:
·
un
circuit électrique comprenant :
- une bobine d'inductance L et de résistance
négligeable
- un condensateur de capacité C et d'armatures A et B
- un interrupteur.
Les
conventions d'orientation sont telles que l'intensité du courant est i=dq/dt,
q(t) étant la charge instantanée du condensateur, c'est-à-dire celle de
l'armature A.
Les
conditions initiales du fonctionnement sont les suivantes: à t négatif ou nul, l'interrupteur est ouvert et le condensateur porte la charge
q(0) = Qo; à t = 0, on ferme l'interrupteur. On donne L= 0,10 H ; C
= 10,0 µF et Qo = 10–4 C.
·
un
système {solide - ressort} horizontal comprenant :
- un solide (S), de masse m et de centre d'inertie G,
glissant sans frottement dans la direction de l'axe O horizontal et d'origine O (voir Figure B) : si (S) est au
repos, G est en O ; à un instant quelconque, G est repéré par son abscisse x
- un ressort à spires non jointives de raideur k, de masse
négligeable, dont l'une des extrémités est attachée à (S) et l'autre fixée
rigidement à un support.
Les
conditions initiales choisies sont les suivantes: à l'instant t = 0, la position du centre d'inertie du
solide vaut Xo et sa vitesse vx est nulle.
On
donne le rapport m/k = 1,0.10–2
S.I. et Xo = +
On admet que l'équation différentielle vérifiée par
x(t) est
où
désigne la dérivée seconde
par rapport au temps de la fonction x(t).
1.a - Faire
le bilan des forces agissant sur (S). Les représenter sur un schéma.
1.b - Retrouver
l'équation différentielle du mouvement en précisant la loi physique utilisée.
1.c - Quelles
que soient les valeurs de A et j, vérifier que x = A.cos(2pt/T+ j) est
solution de l'équation différentielle
précédente si T a une valeur fonction de k et m dont on donnera l'expression.
Quelle est l'unité du rapport m/k ?
Comment appelle-t-on T ? Quelle est sa valeur
numérique ?
1.d - En
prenant en compte les conditions initiales du début de l'énoncé, montrer que A
= Xo
et j = 0.
On
admet que l'équation différentielle vérifiée par la charge q(t) est:
On utilise
de façon systématique la comparaison entre les deux équations différentielles.
2.a - Quelle est la grandeur mécanique
correspondant à l'intensité instantanée du courant i(t) ?Quelles sont les grandeurs électriques
correspondant respectivement à la raideur du ressort et à la masse du solide
(S) ?
2.b - En utilisant les similitudes entre
les équations différentielles et les conditions initiales, montrer que la
charge instantanée du condensateur est q(t) = Qo.cos(2p.t/T’).
Donner l'expression de T' en fonction des caractéristiques des composants du
circuit. Calculer numériquement T'.
3.- Représenter
sur deux schémas différents les fonctions x(t) et q(t). Le dessin fait pour t
variant de 0 à 2T (ou 2T') peut être approximatif mais on aura soin de bien
préciser les points importants: situation à l'origine des temps, extréma,
passage par la valeur nulle.
4 - Les
oscillateurs réels ne sont pas idéaux. Pourquoi ? Quels sont les phénomènes
physiques responsables ?