Modélisation d'une alarme ( Métropole 2005 ; 4 points)
Un élève, dans
le cadre de travaux personnels, souhaite étudier un système d'alarme.
Après avoir modélisé la mise sous tension du circuit de commande de la sirène (première partie de l'exercice), il cherche à savoir si des phénomènes inductifs peuvent provoquer le déclenchement intempestif de la sirène (deuxième partie de l'exercice).
I. Première
partie :
fonctionnement simplifié d'une alarme d'appartement
Après avoir mis
sous tension l'alarme d'un appartement, il faut pouvoir disposer d'une
durée suffisante pour sortir sans
la déclencher. Pour cela certains dispositifs utilisent la charge et la décharge d'un condensateur.
Le circuit est
alimenté par une batterie d'accumulateurs de force électromotrice (f.e.m.) E.
Le schéma
simplifié de l'alarme est le suivant.
E B
Schéma
1
R = 47 kW; C= 1,1 ´ 103 mF; E = 9,0 V
La mise sous
tension de l'alarme correspond à la fermeture de l'interrupteur K.
Le
circuit de commande de la sirène est tel qu'à la fermeture de la porte de
l'appartement, le condensateur est mis en court-circuit (ses armatures sont alors reliées par un fil
conducteur non représenté sur le schéma).
1. Étude de la charge du condensateur dans le circuit RC
Pour étudier la
charge du condensateur de capacité C, l'élève visualise la tension uAB
= f(t) à ses bornes à l'aide
d'une interface reliée à un ordinateur. Le circuit de commande de la sirène
n'est pas relié au condensateur
lors de cette expérience. L'acquisition commence lors de la fermeture de
l'interrupteur (K), le condensateur étant préalablement déchargé.
L'élève
obtient la courbe uAB = f(t) représentée EN ANNEXE À RENDRE AVEC
1.1. Indiquer sur
L'entrée et la masse de l'interface sont respectivement équivalents à une voie Y et à la masse d'un oscilloscope.
1.2. En utilisant
une méthode au choix, déterminer, à partir de la courbe uAB =
f(t) (Figure 2 DE L'ANNEXE À
RENDRE AVEC
1.3. Donner
l'expression de la constante de temps t en fonction des caractéristiques du circuit et
vérifier par le calcul la valeur trouvée à la question 1.2.
2.
Déclenchement de l'alarme
Ce circuit commande
une sirène (voir Schéma 1) qui
se déclenche dès que la tension aux bornes du condensateur atteint la valeur de
8 V.
2.1. À l'aide de
la courbe uAB = f(t) donnée Figure 2 DE L'ANNEXE À
RENDRE AVEC
en indiquant clairement cette durée sur le graphe.
2.2. Expliquer pourquoi le fait de fermer la
porte empêche l'alarme de se déclencher.
II. Deuxième
partie: l'alarme
peut-elle se déclencher de manière intempestive ?
Des phénomènes inductifs peuvent apparaître dans le circuit.Celui-ci est alors analogue à
un circuit RLC série. Pour
comprendre l'influence de l'inductance l’élève réalise, au laboratoire, le
montage ci-contre, avec les composants dont les caractéristiques sont données
au schéma 2.
L'élève enregistre comme dans la première
partie de l' exercice la tension uAB = f(t) aux bornes du
condensateur, pour deux valeurs de résistance R1 = 160 W et R2 = 2,4 kW . Il obtient les courbes a et b ci-dessous.
1. Donner les noms
des régimes associés aux courbes a et b. Indiquer pour chacun d'eux la
valeur donnée à la résistance R, en
précisant la raison de ce choix.
Pour étudier
les régimes de charge du condensateur, on appliquera les mêmes conclusions que
dans le cas de la décharge du condensateur en série avec une bobine et une
résistance.
2. À partir de ces
courbes, montrer que l'intensité du courant dans le circuit s'annule au bout
d'une durée suffisamment longue.
3. En appliquant la loi des tensions, trouver
la valeur finale de la tension uAB.
4. Quel inconvénient présenterait le régime associé à la courbe (a) si cette modélisation correspondait au circuit de déclenchement de l'alarme précédente ?
5. Dans un
circuit de capacité C, d'inductance L et de résistance R, on évite les
oscillations si la condition suivante est vérifiée: 
³ 1. La valeur de l'inductance dans le circuit d'alarme est
supposée inférieure à 1 mH.
Dire, en
justifiant la réponse, si des oscillations peuvent apparaître dans le circuit
d'alarme étudié dans la première
partie, immédiatement après la fermeture de l'interrupteur K.
ANNEXE
Figure
1
E
