1) Vecteur champ de pesanteur uniforme

Dans un cube de volume V = 1 km³ on peut considérer que le vecteur champ de pesanteur terrestre (de norme g) est constant : il garde ses 3 caractéristiques (sens, direction, norme) identiques.

2) Le vecteur poids

Le vecteur poids est égal au produit de la masse 'm' de l'objet par le vecteur champ de pesanteur terrestre :

unité: P en Newton(N) , m en kilogramme (kg), g(A) intensité du champ de pesanteur terrestre (N.kg^-1). 

 II) Etude d'une chute verticale

1) Les 2 régimes d'une chute verticale

Au cours d'une chute verticale on distingue deux régimes:

le régime transitoire pendant lequel la vitesse augmente.

le régime permanent pendant lequel la vitesse reste constante. 

Cette vitesse est appelée vitesse limite , notée v(limite)

Dans le cas d'une force de frottement fluide de la forme 
f = k.v on définit le temps t caractéristique. 
Celui ci correspond à l'abscisse du point intersection entre la tangente à la courbe v(t) à l'instant t = 0 s, et l'asymptote d'équation v = v(limite).

Cas d'une chute avec force de frottement de la forme
f = k.v

II) étude mécanique du mouvement

1) Etude mécanique

Pour effectuer une étude mécanique d'un objet en mouvement il faut définir :

1) le système : la bille.

2) le référentiel : la terre supposée référentiel galiléen.

3) le repère (cartésien dans notre cas) lié au référentiel : 

4) définir la somme des forces extérieures agissant sur le système :

: vecteur poids de l'objet

: poussée d'archimède
: force de frottement fluide

 2) Force de frottement fluide

L'ensemble des forces de frottement entre le solide et le fluide est modélisé par une seule force . Il existe plusieurs types de force de frottement fluide.

     Si l'objet est petit et que sa vitesse par rapport au fluide est faible, alors le fluide s'écoule sous forme de couches continue autour de l'objet. Il s'agit d'un écoulement laminaire. On parle alors de force de frottement laminaire.

Une force de frottement laminaire est égale à l'opposé du produit du coefficient de frottement fluide laminaire h, par le vecteur vitesse du centre d'inertie du solide :

h: coefficient de frottement fluide laminaire (kg.s^-1), qui dépend de la forme, de la taille de l'objet, et du type de fluide (notamment de sa viscosité).

    Si l'objet est gros et que sa vitesse par rapport au fluide est importante, le fluide s'écoule de façon turbulente

Dans le cas d'une force de frottement fluide turbulent :

l : coefficient de frottement turbulent (kg.m^-1).
v : vitesse du solide(m.s^-1).

f : force de frottement fluide turbulent (N).

De manière générale la force de frottement est opposée à la vitesse et sa norme est de la forme :  f = A.vⁿ  

Tout corps plongé dans un fluide subit de sa part une  force appelée poussée d'Archimède, de norme P.
La norme P de cette force est égale ou poids du volume de fluide déplacé par ce corps. La poussée d'Archimède est égale à l'opposé du vecteur poids de fluide déplacé :

Caractéristiques de la poussée d'Archimède :

direction : verticale
sens : opposé au vecteur poids du solide
point d'application : G
norme : P =m_{(fluide déplacé)}.g

III) Equation différentielle du mouvement 

La seconde loi de Newton donne, dans le cas d'une chute libre avec force de frottement laminaire, l'équation différentielle en z(position du centre d'inertie de la bille sur l'axe vertical orienté vers le bas) :

'mf' : masse de fluide déplacé(kg): 'm' masse de la bille(kg) ; 'h' coefficient de frottement laminaire(kg.s^-1) ;
g_z: coordonnée du vecteur champ de pesanteur sur l'axe des z :  g_z = 9,8 N.kg^-1.

IV) Résolution numérique, méthode d'Euler

1) Principe

On veut calculer à partir de l'expression de l'équation différentielle, et  à n'importe quel instant t :
1) la position z 
2) la vitesse v_z
3) l'accélération a_z  .
(v_z sera notée v,  et a_z  'a' pour plus de facilité.)

On prendra comme exemple l'équation différentielle exprimée précédemment :

A la date t = 0 on doit connaître les valeurs de : a_o, v_o, et z_o.
On découpe le temps en intervalles de temps Dt égaux ( Dt étant le plus petit possible).
A l'instant t1 = to+Dt on obtient :

1) la valeur de v ₁. En effet :

donc:

2) la valeur de a₁. Celle ci est calculée à partir de l'équation différentielle :

3) la valeur de z₁ :

donc:

En généralisant à n'importe quel instant t_i :

Et dans le cas d'un frottement de type laminaire :

2) Importance du pas de durée Dt

Pour que le calcul numérique de la vitesse, de l'accélération et de la position soit proche de l'expérience il faut prendre un pas environ 10 fois inférieure  au temps t caractéristique :

V) cas d'une chute libre verticale

1) chute libre

Un objet est en chute libre quand il n'est soumis qu'à son poids. Ce cas de figure n'est réalisable que si le solide tombe dans le vide !

2) détermination des équations horaires du mouvement

En utilisant la seconde loi de Newton, on obtient les résultats suivants (axe des z orienté vers le centre de la terre):

Avec C1 et C2 constantes déterminées avec les conditions initiales.