Chapitre 4: b) onde stationnaire

I) création d’une onde stationnaire

1) réflexion d'une onde progressive

Télécharger la version de démonstration du logiciel Hatier microméga.(Paramétrage et visualisation d’une onde)

Une onde incidente transversale se propage le long d'une corde et arrive sur un obstacle fixe. Elle se réfléchit avec une forme semblable mais inversé. La vitesse n'est pas modifiée, seul le sens de propagation est inversé.

2) vibration d'un point du milieu de propagation

Pour télécharger la simulation d’une onde stationnaire clique ici.

En noire l’élongation de l’onde incidente y1(t), en vert élongation y2(t) de l’onde réfléchie, en bleu élongation de la corde à un instant donnée en fonction de la position x.

Au point A quelque soit t, y1(t) = y2(t) l’onde incidente et réfléchie sont en phase :

yA(t) = 2y1(t). On observe un ventre d’amplitude.

Au point B quelques soit t y1(t) = -y2(t) l’onde incidente et réfléchie sont en opposition de phase :

yB(t) = 0 . On observe un nœud d’amplitude.

II) onde stationnaire le long d’une corde

Rappel : la longueur d'onde est la distance parcourue par l'onde en une période. Elle est égale à la distance minimale séparant 2 points qui vibrent en phase.

l =v.T

v: célérité de l'onde dans le milieu considéré(m/s)

T: période de vibration de l'onde(s).

Chaque point de la corde vibre transversalement à une fréquence identique à celle de l'excitateur.

1) production d'une onde stationnaires

Sur une corde on utilise une onde mécanique progressive sinusoïdale entretenue par un vibreur.

Pour une fréquence particulière f1 du vibreur appelé fréquence fondamentale ou fréquence du premier harmonique, on observe une onde stationnaire.

On observe également une onde stationnaires pour un nombre n entier de la fréquence fondamentale.

2)Définition

Une onde sur une corde est stationnaire, quand on n'observe plus de propagation longitudinale mais uniquement un déplacement transversal de chacun de ses points.

Les points Qui ne vibrent pas sont appelés des nœuds d'amplitude. En ces points, les amplitudes des ondes incidentes et réfléchies s'annulent (elles sont en opposition de phase).

Les points qui vibrent avec une amplitude maximale sont appelés des ventres d'amplitude. En ces points les amplitudes des ondes incidentes et réfléchis s'ajoutent (elles sont en phase).

3) condition nécessaire pour obtenir une onde stationnaire

vidéo

Pour obtenir une onde stationnaire toutes les ondes qui se propagent dans le même sens doivent arriver en phase au point A considéré. La première onde arrive à l'instant t1. Elle effectue ensuite un aller-retour (avec deux réflexions sur les deux extrémités fixes de la corde) et revient à l'instant t2 au point A:

Si alors l'onde incidente 1 et l'onde réfléchie 2 sont en phase car elles sont séparées d’une distance égale à n longueurs d’onde (: la longueur d'onde est la distance parcourue par l'onde en une période T).

Pour que deux ondes consécutives soient en phase et qu'on obtienne des ondes stationnaires il faut que la condition suivante soit vérifiée :

avec n entier, et T période de vibration de l'onde.

Par conséquent :

Pourquoi a-t-on des nœuds d'amplitude ?

Toutes les ondes se déplaçant de droite à gauche arrive au point A en phase. Par contre toutes celles arrivent de gauche à droite arrive en opposition de phase avec ces dernières. Par conséquent les amplitudes s'annulent on obtient un nœud d'amplitude.

Pourquoi obtient-on des ventres d'amplitude ?

Les ondes se déplaçant de gauche à droite arrive en phase avec les ondes se déplaçant de droite à gauche toutes les amplitudes s'ajoutent : on obtient un ventre d'amplitude.

4) relation entre fréquences propres de vibration et longueur L de la corde

vidéo

Rappel: la vitesse de propagation le long d'une corde est :

v = (F/m)^1/2

F: tension de la corde (N)

m: masse linéique de la corde

par conséquent dans le cas des ondes stationnaires :

on obtient des ondes stationnaires pour les fréquences correspondantes aux modes propres de vibrations :

Pour n = 1 on retrouve la fréquence du fondamental. Pour n=2 la fréquence du second harmonique, etc.

III) onde stationnaire dans une colonne d'air

1) dispositif expérimental

Observer le mouvement des couches d’air sur le simulateur de Mr Gastebois

Un GBF (générateur basse fréquence) couplée à un haut parleur fournit une tension alternative sinusoïdale de fréquence f.

Le haut parleur produit un son qui se propage dans une colonne d’air. Il s’agit d’une onde mécanique longitudinale, car les couches d’air se déplacent dans la direction de propagation de l’onde.

On fait varier la fréquence du GBF et on détecte à l’aide d’un microphone placé à l’intérieur de la colonne l’allure de l’élongation des couches d’air. La colonne d’air de longueur L entre en oscillation forcée. En faisant varier la tension délivrée par le GBF, on observe comment évolue l’amplitude en différents points du tuyau.

2) interprétation

vidéo

Aux deux extrémités ouvertes du tube on détecte des ventres d'amplitude des couches d'air (donc des nœuds de pression. Ces nœuds de pression correspondent aux nœuds d'amplitude dans le cas une corde).

À l'intérieur du tube. On détecte des nœuds d'amplitude des couches d’air (donc des ventres de pression. Ces ventres de pression correspondent au ventre d'amplitude pour la corde).

Deux nœuds ou deux ventres de pression consécutifs sont séparés d'une distance l/2. La longueur L du tuyau correspond à un nombre entier n de demi-longueur d’onde.

v: vitesse de propagation des sons dans l’air (environ 340m/S)

Les fréquences propres f_n correspondantes aux modes propres de vibration sont:

Simulation

Exemple : la célérité des ondes sonores dans un tuyau est v = 340 m.s^-1. La longueur du tube est L = 30 cm. Les fréquences de l’excitateur permettant d’obtenir des ondes stationnaires sont :

La première fréquence correspondant au mode fondamentale est f₁ = 1x5,7x10³ = 5,7x10³ Hz

La seconde fréquence correspondant à l’harmonique de rang 2 est f₂ = 2x5,7x10³ Hz = 1,14x10³ Hz etc..

Remarque:

1) pour des fréquences différentes des fréquences propres on n'observe pas d'ondes stationnaires.

2) si on frappe sur le tube il entre en oscillation libre et vibre à une fréquence égale à celle du fondamental f₁ = 5,7x10³ Hz .

Vérifier avec le programme de Mr Gastebois que le tuyau entre en résonance pour les fréquences calculées.