Chapitre 1 : Electrostatique

Dipôle électrostatique (concours ensam - estp - ensais - ecrin – archimede 2001) énoncé

 

Q1

 

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Un dipôle est un ensemble de 2 charges identiques de signe opposé, située à « faible » distance l’une de l’autre.

« faible » signifiant négligeable devant la distance OM de calcul du champ dans le cas du dipôle actif et

faible devant les distances de variation du champ électrique dans le cas du dipôle passif.

 

p = 2a q ez

 

L’unité est le Coulomb. mètre (C.m) (ou le Debye 1 D=1/3 10-29 C.m).

 

a) Le système est un système de révolution autour de l’axe Oz, il est invariant par toute rotation d’un angle j autour de Oz, il suffit donc d’étudier le problème dans le plan méridien.

 

b) N’importe quel plan contenant l’axe Oz est un plan de symétrie du problème. Le champ est contenu dans les plans de symétrie, il ne possède donc pas de composante orthogonale à ce plan.

 

c) Calcul classique             V = p cos q / 4pe0r2

 

 

Q2

 

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a) E = - grad(V) = 2 p cos q / 4pe0r3 er +  p sin q / 4pe0r3 eq

 

Calculons 3 (p . er) er -  p :

 

(p . er) = p cos q      p = p cos q er -  p sin q eq    d'où  3 (p . er) er -  p = 2 p cos q er +  p sin q eq

 

 

b) Le champ créé par une source ponctuelle décroît en r-2 celui du dipôle en r-3.

 

 

 

 

 

 

 

 

Q3

 

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a)

 

b) Equation des lignes de champ :

ez

 
 

 


 

 

dr sin q  = 2 r cos q  dq ;  dr/r = 2  cos q  dq / sin q   

ln | r| = 2 ln (sin |q |)           r = K sin 2q 

V<0

 

V>0

 
 

 

 

 


 

 

 

 

équipotentielles r2 = K’ cosq 

K’ constante positive si q Î[-p/2, p/2] et négative si cos q >0

Soit j l’angle fait par la ligne de champ avec le rayon vecteur.

tan j =dr / r dq = 2 cosq / sinq  

Soit j’ l’angle fait par la ligne équipotentielle avec le rayon vecteur. V= cste entraîne par dérivation logarithmique

tan j’ =dr / r dq = -1/2 sinq / cosq    d’où    tan j’. tan j = - 1 les 2 directions sont bien orthogonales.