Un ballon sonde, en
caoutchouc mince très élastique, est gonflé à l'hélium. Une nacelle attachée au
ballon emporte du matériel scientifique afin d'étudier la composition de
l'atmosphère. En montant le ballon grossit car la pression atmosphérique
diminue. Sa paroi élastique finie par éclater à une altitude généralement
comprise entre 20 et 30 km. Après l'éclatement, un petit parachute s'ouvre pour
ramener la nacelle et son matériel scientifique au sol. Il faut ensuite
localiser la nacelle, puis la récupérer pour exploiter l'ensemble des
expériences embarquées.
1. Mécanique du vol
L'objectif de cette
partie est d'étudier la mécanique du vol du ballon sonde à faible altitude
(sur premières centaines de mètres). On
peut alors considérer que
l'accélération de la
pesanteur g , le volume du ballon Vb et la masse r de l'air reste constante. On modélisera la valeur
f de la force de frottement de l'air sur le système étudié par l'expression :
f = K.r.v2 ou K est une constante pour les
altitudes considérées et v la vitesse du centre d'inertie du système (ballon +
nacelle). On supposera qu'il n'y a pas de vent (le mouvement s'effectue dans la
direction verticale) et que le volume de la nacelle est négligeable par rapport
au volume du ballon. Le système (ballon + nacelle) est étudié dans un
référentiel terrestre considéré comme galiléen.
Conditions de
décollage du ballon.
a) Etablir le bilan des
forces exercées sur le système (ballon + nacelle) lorsque le ballon vient juste
de décoller. Indiquer le sens et la direction de chaque force.
b) Donner l'expression
littérale de la valeur FA de la poussée d'Archimède.
a) Appliquer au système
la seconde loi de Newton (seule la relation vectorielle est demandée).
b) La vitesse initiale du
ballon (juste après le décollage) étant considérée comme nulle, à quelle
condition doit satisfaire le vecteur accélération pour que le ballon puisse
s'élever ? En déduire une condition sur M (on projettera la relation obtenu à
la question Q2 a) sur un axe vertical orienté vers le haut).
c) En déduire la masse
maximale de matériel scientifique que l'on peut embarquer dans la nacelle.
Données :
r = 1,22 kg.m-3; Vb = 9,0 m3;
masse du ballon (enveloppe + hélium) : m = 2,10 kg ; masse de la nacelle vide :
m' = 0,50 kg.
Ascension du ballon.
a) A partir de la
question Q2 a) et en conservant l'axe défini à la question Q2 b), montrer que
l'équation différentielle régissant le mouvement du ballon peut se mettent sous
la forme :
Donner les expressions de
A et B.
b) La masse du matériel
embarqué étant de 2,0 kg, l'application numérique donne A = -0,53 m-1
et B = 13,6 m.s-1. Une méthode de résolution numérique, la méthode
d'Euler, permet de calculer de façon approchée la vitesse instantanée du ballon
à différentes dates en utilisant la relation suivante :
où Dt est le pas de résolution.
Par cette méthode on
souhaite calculer la vitesse v1 à la date t1 = 0,05 s et
la vitesse v2 à la date t2 = 0,1 s , la vitesse initiale
du ballon étant nulle. On prendra Dt = 0,05 s. En utilisant la méthode d'Euler, l'équation différentielle de
la question Q3 a) et les valeurs de A et B, recopier et compléter le tableau
suivant :
Date t en s |
Valeur de la vitesse
v(tn) en m.s-1 |
Valeur de
l'accélération a(tn) en m.s-2 |
Dv(tn) en m.s-1 |
t0 = 0,0 |
0 |
13,6 |
|
t1 = 0,05 |
|
|
|
t2 = 0,10 |
|
Xxxxxxxxx |
xxxxxxxxxx |
a) Donner l'expression
littérale de la vitesse limite vl du ballon en fonction de A et B.
b) Calculer cette vitesse
limite.
c) La méthode d'Euler
donne le graphique suivant :
Comparer la vitesse
limite calculée au Q4 b) à la valeur lue sur le graphique (le calcul de l'écart
relatif n'est pas demandé).
2. Le poids et la
poussée d'Archimède varient-t-ils avec l'altitude ?
Le tableau suivant donne
quelques valeurs de grandeurs mesurées au voisinage de la terre.
Altitude h en m |
Accélération de la pesanteur gh (en m.s-2) |
Masse volumique de l'air rh (kg.m-3) |
0 |
9,8066 |
1,22 |
1000 |
9,8036 |
1,11 |
2000 |
9,8005 |
1,00 |
3000 |
9,7974 |
0,90 |
4000 |
9,7943 |
0,82 |
5000 |
9,7912 |
0,73 |
6000 |
9,7882 |
0,66 |
7000 |
9,7851 |
0,59 |
8000 |
9,7820 |
0,52 |
9000 |
9,7789 |
0,46 |
a) En calculant l'écart
relatif montrer que pour les altitudes figurant dans le tableau précédent,
l'accélération de la pesanteur peut être considérée comme constante à moins de
1 % près. On peut donc considérer que le poids est constant entre les altitudes
0 m et 9000 m.
Écart relatif :
b) En s'aidant de la
phrase soulignée dans l'introduction de l'exercice et en considérant
qualitativement l'évolution avec l'altitude de chaque paramètre intervenant
dans la poussée d'Archimède (dont la valeur est notée FA), choisir
et justifier la conclusion qui convient parmi les propositions suivantes :
a. FA
augmente.
b. FA reste
constante
c. FA diminue.
d. On ne peut pas
conclure.