Cet exercice vise
dans un premier temps à analyser quelques informations extraites d'un document
Internet relatif au projet de "Grand Saut" du parachutiste Michel
Fournier et dans un deuxième temps à étudier un saut en parachute plus
classique. Les deux parties A et B sont indépendantes.
PARTIE A - Le
grand saut :
D'après l'édition
Internet du vendredi 12 juillet 2002 du Quotidien québécois Le Devoir.
Paris - Michel
Fournier, 58 ans, ancien instructeur parachutiste de l'armée française, a
annoncé hier son intention d'effectuer en septembre un saut en chute libre de
40 000 mètres d'altitude au-dessus du Canada. "Ce qui m'intéresse au
premier chef, c'est le record et le challenge physique que représente ce
saut", a déclaré Michel Fournier à Paris. Pour réaliser cet exploit, il
sera équipé d'une combinaison pressurisée proche de celles utilisées par les
astronautes, mais modifiée pour résister à des températures extrêmement basses
(moins 110 degrés Celsius) et équipée d'un parachute. Il atteindra l'altitude
de 40 000 mètres en trois heures environ, à bord d'une nacelle, elle aussi
pressurisée, et tirée par un ballon gonflé à l'hélium. La durée du saut est évaluée
à six minutes vingt-cinq secondes. En l'absence de pression atmosphérique,
Fournier dépassera la vitesse du son (1067 km.h-1 ) trente secondes
environ après son départ en position verticale. Il sera ensuite progressivement
freiné dans sa chute par la densification de l'air. Il pourra alors reprendre
une position horizontale et ouvrir son parachute à une altitude de 1000 mètres.
Pour des raisons de sécurité, le saut aura lieu dans le nord du Canada,
au-dessus de la base de Saskatoon, dans une zone où la densité de population
est très réduite. Le record est actuellement détenu par l'Américain Joseph
Kittinger, qui, en août 1960, avait sauté d'une nacelle à 30840 mètres.
a) L'intensité de
la pesanteur (début du saut). Le système constitué par le parachutiste et son
équipement subit, de la part de la Terre, une force de gravitation F. Exprimer littéralement la valeur F de
cette force en fonction de la masse de la Terre MT , du rayon de la
Terre RT , de la constante de gravitation universelle G, de la masse
m du système et de son altitude h.
b) On assimile le
poids à la force de gravitation. En déduire l'expression littérale de
l'intensité g de la pesanteur à l'altitude h.
c) Calculer
l'intensité de la pesanteur à l'altitude 40 km.
Données : MT = 5,97.1024 kg RT = 6,37.103 km G = 6,67.10-11 unité S.I.
La chute libre
(début du saut).
a) Au début du
saut, la pression atmosphérique est très faible: l'air est raréfié et son
action sur le parachutiste peut être négligée. On admettra pour cette question
que l'intensité de la pesanteur est constante, de valeur égale à g = 9,7 N.kg-1 . On précise que la vitesse initiale est
nulle. Qu'appelle-t-on une chute libre ?
b) Etablir
l'expression de l'accélération du parachutiste lors de cette phase du saut.
c) Etablir la
relation liant la vitesse v atteinte à la durée de chute t. Vérifier que la
durée de chute t1 permettant d'atteindre la "vitesse" du
son (soit v1 = 1067 km.h-1 ) est bien celle présentée
dans le texte.
d) Etablir la
relation liant la distance x parcourue à la durée de chute. Calculer la
distance x1 parcourue quand la "vitesse" du son est
atteinte. Quelle est alors l'altitude h1 du parachutiste ?
Les conditions de
température
a) A propos du
son, le terme de célérité est préférable à celui de vitesse. Expliquer.
b) En admettant
que la célérité du son est proportionnelle à la racine carrée de la température
absolue, déterminer la température q1 de l'atmosphère correspondant à une célérité v1 =
1067 km.h-1
Données : célérité du son : v0 = 1193 km.h-1 à
q0 = 0° C T = q + 273
( q température en °C, T température absolue
en K )
PARTIE B : Le saut
classique :
Le parachutiste et
son équipement (système étudié) ont au total une masse m = 80 kg. On supposera
que le parachutiste s'élance sans vitesse initiale d'un ballon immobile situé à
1000 m d'altitude.
a) Le saut se
déroule en deux phases. Première phase: lors de la première phase. le parachute
n'est pas déployé. L'action exercée par l'air peut être modélisée par une force
de valeur exprimée par F = k.v2
avec k = 0,28 S.I. (unités du système international). La poussée d'Archimède
due à l'air sera supposée négligeable. L'intensité de la pesanteur sera
considérée comme constante et de valeur g0 = 9,8 N.kg-1. Déterminer l'unité
du coefficient k (en utilisant les unités fondamentales du système
international).
b) Effectuer le
bilan des actions exercées sur le système et établir l'équation différentielle
relative à l'évolution de la vitesse du système au cours du temps. Montrer
qu'elle correspond numériquement à :
dv/dt = 9,8 - 0,0035 v2
c) La courbe
d'évolution de la vitesse au cours du temps est représentée en annexe 1 à
rendre avec la copie. Déterminer la vitesse limite et le temps caractéristique
de ce mouvement.
d) Comment peut-on
retrouver, à partir de ce document, une valeur approchée de l'intensité de la
pesanteur ?
a) La courbe
précédente a en fait été obtenue par résolution de l'équation différentielle
précédente par la méthode numérique itérative d'Euler. Un extrait de la feuille
de calcul est représenté ci-dessous.
Date |
Vitesse |
Accélération |
t (s) |
v (m.s-1) |
a = dv/dt (m.s-2) |
0,00 |
0,00 |
9,80 |
0,10 |
0,98 |
9,80 |
0,20 |
1,96 |
9,79 |
0,30 |
2,94 |
9,77 |
0,40 |
3,92 |
9,75 |
0,50 |
4,89 |
9,72 |
0,60 |
5,86 |
9,68 |
0,70 |
6,83 |
9,64 |
Quel est le
pas Dt utilisé pour les calculs ?
b) Expliquer la
méthode d'Euler en effectuant les calculs de l'accélération à la date t4
= 0,40 s et de la vitesse à la date t5 = 0,50 s.
c) Sur le document
fourni en annexe 1 à rendre avec la copie, est également représentée
l'évolution de la position x au cours du temps. Déterminer à quelle date le
parachutiste atteindrait le sol s'il n'ouvrait pas son parachute.
a) Deuxième phase
: Le parachutiste déclenche l'ouverture
de son parachute à l'instant 12 s. La vitesse diminue et se stabilise en 4 s à
la valeur limite de 4,5 m.s-1 . L'ouverture du parachute modifie la
force de frottement exercée par l'air qui devient F' = k'.v2. En
s'aidant de l'expression littérale de la vitesse limite, déterminer la valeur
de k'.
b) Représenter,
sur l'annexe 2 à rendre avec la copie, l'évolution de la vitesse au cours du
temps (évolution correspondant à l'ensemble du saut). L'évolution correspondant
à la chute étudiée au cours de la première phase, lorsque le parachute n'est
pas déployé, est rappelée en trait fin.
Annexe 1
Annexe 2