Chapitre
10 : chute libre
RECHERCHE D’UN MODÈLE DE FORCE DE
FROTTEMENT
Données pour
l’exercice :
Volume de la bille
en acier : V = 0,52 cm3- Masse volumique de l’acier : r A = 7850 kg/m3
- Masse volumique de l’huile : r H = 920 kg/m3
·
Accélération de la pesanteur au lieu de
l’expérience :
·
g = 9,8 m/s²
·
aide aux calculs
0,52x7850 = 4,1x103 ; 920 ´ 0,52´×9,8 = 4,7x103 ;
9,8´(7850-920) / (7850) =
8,7 ; 4,1x8,7/0,95 = 37 ;
(69-41)/40 =
0,7
On réalise la
chronophotographie de la chute d’une bille sphérique en acier dans l’huile.
Pour ce faire, on filme la bille dans une éprouvette remplie d’huile, avec un caméscope
numérique au rythme de 50 images par seconde. Grâce à un traitement adéquat des
images, on obtient le document 1 (voir en fin de sujet). On repère ensuite la
position, sur chaque image, du centre d’inertie de la bille : M0
correspond à sa position initiale, celle-ci étant lâchée, à l’instant t0
pris comme origine des dates, sans vitesse initiale.
A. Exploitation de
l’enregistrement
A-1. En vous aidant
des documents 1 et 2), préciser les caractéristiques du mouvement de la bille
entre les positions M15 et M21. Quelle est la loi de
Newton ainsi illustrée ?
A-2. A partir des
conditions de prise de vue données ci-dessus, justifier les valeurs qui
apparaissent dans la colonne temps t (ms) du tableau du document 2.
B. Étude cinématique
Le point M0
étant pris comme origine des espaces et des temps (y = 0 et t = 0), on repère
les différentes hauteurs réelles de chute de la bille dans l’huile, notées y,
aux dates t
correspondantes. On calcule alors les vitesses correspondantes. Les différentes
grandeurs sont notées dans le tableau du document 2.
B-1. Calculer
la vitesse de la bille pour la position M6.
B-2. Calculer
l’accélération de la bille pour la position M18. Le
résultat obtenu est-il compatible avec celui obtenu au A-1 ? Argumenter la
réponse.
NB : Pour les questions B-1 et B-2, on aura soin
de préciser scrupuleusement la méthode employée pour déterminer les valeurs de
la vitesse et de l’accélération aux points demandés.
C. Étude dynamique
C-1. Sur
un schéma, faire figurer, sans souci d’échelle, toutes les forces, en les
nommant, s’exerçant au centre d’inertie G de la bille tombant dans l’huile.
C-2. Calculer
la masse m de la bille.
C-3. Donner
l’expression littérale de la poussée d’Archimède, PA, s’exerçant sur
la bille
plongée dans l’huile.
Calculer sa valeur.
D. Équation différentielle du mouvement de la
bille
|
Positions de la bille |
t (ms) |
y (mm) |
v (m/s) |
|
M0 |
0 |
0,0 |
0,00 |
|
M1 |
20 |
4,5 |
0,23 |
|
M2 |
40 |
9,0 |
0,34 |
|
M3 |
60 |
18,0 |
0,46 |
|
M4 |
80 |
27,5 |
0,58 |
|
M5 |
100 |
41,0 |
0,64 |
|
M6 |
120 |
53,0 |
|
|
M7 |
140 |
69,0 |
0,75 |
|
M8 |
160 |
83,0 |
0,80 |
|
M9 |
180 |
101,0 |
0,88 |
|
M10 |
200 |
118,0 |
0,90 |
|
M11 |
220 |
137,0 |
0,93 |
|
M12 |
240 |
155,0 |
0,93 |
|
M13 |
260 |
174,0 |
0,95 |
|
M14 |
280 |
193,0 |
0,93 |
|
M15 |
300 |
211,0 |
0,95 |
|
M16 |
320 |
231,0 |
0,95 |
|
M17 |
340 |
249,0 |
0,95 |
|
M18 |
360 |
269,0 |
0,95 |
|
M19 |
380 |
287,0 |
0,95 |
|
M20 |
400 |
307,0 |
0,95 |
|
M21 |
420 |
325,0 |
|
Document
2 : tableau donnant la vitesse de la bille suivant sa
position
Soit f
l’intensité de la force de frottement à laquelle est soumise la bille en
mouvement dans
l’huile.
D-1. Par
application d’une des loi de Newton que l’on énoncera, établir que le mouvement
de la bille obéit à une équation différentielle du type :
dv/dt + f/m = A
où A est une constante et v = vy la coordonnée de la vitesse de la bille sur
l’axe (O,y).
D-2. Donner
l’expression littérale de A puis calculer sa valeur. Préciser son unité.
E. Recherche de modèles pour la force de
frottement
On se propose de
déterminer expérimentalement si l’intensité de la force de frottement f
à laquelle est soumise la bille en mouvement dans l’huile est de la forme f
= k1 . v ou f = k2 . v²,
k1 et k2 étant des constantes et v la vitesse de la
bille.
On utilise un tableur
pour représenter la vitesse de la bille en fonction du temps. On obtient le
graphe du document 3 (en fin de sujet) : les points expérimentaux obtenus
y sont représentés sous forme de losange. On détermine ainsi la valeur de la
vitesse limite de chute de la bille :
vlim = 0,95 m/s.
E-1. Première
hypothèse : f = k1 . v
E-1.a)
Montrer que l’équation différentielle précédente
peut alors se mettre sous la forme :
dv/dt
+B1.v = A
où
A est la constante déterminée dans la partie D.
E-1.b) Lorsque
la vitesse de la bille atteint la vitesse limite vlim, que devient
le terme dv/dt de l’équation différentielle précédente ? En déduire
l’expression littérale de
B1 en fonction de A et vlim .
E-2.
Deuxième hypothèse : f = k2 .
v²
Dans ce cas, l’équation
différentielle se met sous la forme : dv/dt + B2.v2
= A
Déterminer l’expression
littérale de B2 en fonction de A et vlim.
E-3.
Comparaison des deux
modèles précédents :
Grâce au tableur et à
la méthode d’Euler, on détermine les courbes théoriques correspondant aux deux
modèles précédents. Le premier modèle sera noté « modèle n°1 »
sur le document 3 (en fin de sujet) correspond à l’hypothèse d’une force de
frottement du type f = k1 .
v. Le second modèle noté « modèle n°2 » correspond à
l’hypothèse d’une force
de frottement du type f = k2
. v².
En vous aidant du document 3, préciser les
domaines de vitesse, sous forme d’un encadrement,
pour lesquels chacun des deux modèles précédents semble coïncider le mieux avec
les points expérimentaux.
