Chapitre 11 : mouvement dans un champ de pesanteur uniforme

 

Le trébuchet (Réunion 2007 )

corrigé

 

 

Le trébuchet est une machine de guerre utilisée au Moyen Âge au cours des sièges de châteaux forts. Le projectile pouvait faire des brèches dans les murailles des châteaux forts situés à plus de 200 m du trébuchet. Son principe de fonctionnement est le suivant :Un contrepoids relié à un levier est maintenu à une certaine hauteur par des cordages. Il est brusquement libéré. Au cours de sa chute, il agit sur un levier au bout duquel se trouve une poche en cuir dans laquelle est placé le projectile.Lors de sa libération, le projectile de la poche se trouve à une hauteur H = 10 m et est projeté avec une vitesse  
faisant un angle
a avec l'horizontale (voir la figure 1 de l'annexe page à remettre avec la copie).

Les mouvements du contrepoids et du projectile s'effectuent dans un champ de pesanteur uniforme. www.home.no/fhide/trebuchet.htm

Données :

Masse du projectile m = 130 kg.

Intensité du champ de pesanteur g  10 m.s-2.

Hauteur du projectile au moment du lancer : H = 10 m.

Masse volumique de l'air rair = 1,3 kg.m -3.

Volume du projectile V = 50 L

Étude du mouvement du projectile après libération

Le système étudié est le projectile. Les frottements de l'air sur le projectile seront négligés dans
cette étude. Le champ de pesanteur
 est parallèle à l'axe Oz. La situation est représentée sur
la figure 1 de l'annexe à remettre avec la copie.

1.       Donner les caractéristiques (sens, direction et valeur) du poids  et de la poussée
d'Archimède
 qui s'exercent sur le projectile. Dessiner l’allure de la trajectoire et les forces (sans soucis d’échelle ) agissant sur le projectile à un instant quelconque.

2.       Est-il judicieux de négliger par la suite la poussée d'Archimède ? Effectuer un calcul pour expliquer votre réponse.

 

3.       En appliquant la 2nde loi de Newton dans le cadre de la chute libre, déterminer les coordonnées ax et az du vecteur accélération du centre d'inertie du projectile dans le repère

4.       Donner l'expression des coordonnées du vecteur vitesse initiale , notées v0x et v0z, en fonction de v0 et a.

5.       On appelle composante horizontale de la vitesse la coordonnée vx(t) du vecteur  et composante verticale la coordonnée vy(t).Déterminer l'expression des composantes horizontale et verticale vx(t) et vy(t) du vecteur vitesse  du système au cours de son mouvement.

6.       En déduire la nature du mouvement du projectile en projection sur l'axe horizontal. Justifier.

7.       Déterminer l'expression des équations horaires du mouvement du projectile : x(t) et y(t).

 

8.       Montrer que l'équation de la trajectoire du projectile est la suivante :


9. Quelle est la nature de la trajectoire du projectile ? Représenter qualitativement l'allure de
       la trajectoire sur la figure 1 de l'annexe page à remettre avec la copie.

10.   En utilisant l'expression de l'équation de la trajectoire obtenue à la question 8., indiquer les
paramètres de lancement qui jouent un rôle dans le mouvement du projectile (on considérera que H est une constante).

11.   Dans le cas où le projectile est lancé avec une vitesse initiale horizontale, montrer que
l'abscisse de son point de chute est :

 

 

12.   Avec quelle vitesse initiale v0 horizontale, le projectile doit-il être lancé pour atteindre la
base du mur du château situé à une distance x = 100 m ?

 

 

 

ANNEXE DE L’EXERCICE 2