Chapitre
11 : mouvement dans un champ de pesanteur uniforme
Le trébuchet
(Réunion 2007 )
Le trébuchet est une machine de guerre utilisée au Moyen Âge
au cours des sièges de châteaux forts. Le projectile pouvait faire des brèches dans
les murailles des châteaux forts situés à plus de 200 m du trébuchet. Son
principe de fonctionnement est le suivant :Un contrepoids relié à un
levier est maintenu à une certaine hauteur par des cordages. Il est brusquement
libéré. Au cours de sa chute, il agit sur un levier au bout duquel se trouve
une poche en cuir dans laquelle est placé le projectile.Lors de sa libération,
le projectile de la poche se trouve à une hauteur H = 10 m et est projeté avec
une vitesse 
faisant un angle a avec l'horizontale (voir
la figure 1 de l'annexe page à remettre avec la copie).
Les mouvements du
contrepoids et du projectile s'effectuent dans un champ de pesanteur uniforme.
www.home.no/fhide/trebuchet.htm
Données :
Masse du projectile m = 130 kg.
Intensité du champ de
pesanteur g 
10 m.s-2.
Hauteur du projectile au
moment du lancer : H = 10 m.
Masse volumique de l'air rair = 1,3 kg.m -3.
Volume du projectile V = 50 L
Étude
du mouvement du projectile après libération
Le système étudié est le projectile. Les
frottements de l'air sur le projectile seront négligés dans
cette étude. Le champ de pesanteur 
est parallèle à l'axe Oz. La situation est
représentée sur
la figure 1 de l'annexe à remettre avec la copie.
1. Donner les
caractéristiques (sens, direction et valeur) du poids 
et de la poussée
d'Archimède 
qui s'exercent sur le projectile. Dessiner l’allure
de la trajectoire et les forces (sans soucis d’échelle ) agissant sur le
projectile à un instant quelconque.
2. Est-il judicieux de
négliger par la suite la poussée d'Archimède ? Effectuer un calcul pour
expliquer votre réponse.
3. 
En appliquant la 2nde loi de Newton dans le cadre
de la chute libre, déterminer les coordonnées ax et az
du vecteur accélération du centre d'inertie du projectile dans le repère
4. Donner l'expression des
coordonnées du vecteur vitesse initiale ,
notées v0x et v0z,
en fonction de v0 et a.
5.
On appelle composante horizontale de la vitesse la coordonnée
vx(t) du vecteur 
et composante verticale la coordonnée vy(t).Déterminer
l'expression des composantes horizontale et verticale vx(t) et vy(t)
du vecteur vitesse du système au cours de son mouvement.
6. En déduire la nature du
mouvement du projectile en projection sur l'axe horizontal. Justifier.
7. Déterminer l'expression
des équations horaires du mouvement du projectile : x(t) et y(t).
8. Montrer que l'équation de
la trajectoire du projectile est la suivante :
9. Quelle est la
nature de la trajectoire du projectile ? Représenter qualitativement l'allure
de
la trajectoire sur la figure 1
de l'annexe page à remettre avec la copie.
10.
En utilisant l'expression de l'équation de la trajectoire
obtenue à la question 8., indiquer les
paramètres de lancement qui jouent un rôle dans le mouvement du projectile (on
considérera que H est une constante).
11.
Dans le cas où le projectile est lancé avec une vitesse
initiale horizontale, montrer que
l'abscisse de son point de chute est :
12.
Avec quelle vitesse initiale v0 horizontale, le projectile doit-il être
lancé pour atteindre la
base du mur du château situé à une distance x = 100 m ?
ANNEXE DE L’EXERCICE 2