Chapitre 15 : énergie mécanique

Etude d'un ressort (d'après bac 2002)

Corrigé

On étudie par deux méthodes différentes, statique et dynamique, la raideur d'un ressort. La constante de raideur est notée k dans toute la suite de l'exercice. Le ressort est à spires non jointives, il  est utilisé dans le domaine d'élasticité.


Q1

 

 

Méthode statique. Le ressort a étudier est accroché à une potence. À l'extrémité libre appelée E , on suspend successivement des masses de différentes valeurs . Le 0 de la règle correspond à la position de E quand le ressort n'est pas soumis à l'action de la masse m (ressort à vide) . L'axe (0,y) sera vertical, et orienté dans le sens de l'étirement du ressort (vers le bas). Pour chaque masse 'm' on mesure l'allongement Dl du ressort. On obtient un le tableau ci dessous :

m(kg)

0

0.2

0.4

0.5

0.7

1

DL(cm)

0

5

10

12,5

17,(

24,9

a) Tracer le graphe de l'allongement Dl en fonction de la masse 'm'. En déduire la relation numérique entre Dl et m. Si la courbe est une droite on notera A son coefficient directeur

b) Sur un schéma, représenter les forces s'exerçant sur la masse m. Exprimer leur somme à l'équilibre.

c) En déduire l'expression littérale de la constante de raideur k. Après avoir rappelé l'unité de cette constante dans le système international, vérifier l'homogénéité de l'expression par l'analyse dimensionnelle et calculer k. On prendra la valeur g = 9,8 m.s-2.

Q2

Etude dynamique : dans cette partie le ressort précédent est  utilisé pour réaliser un oscillateur élastique horizontal. Tous les frottements sont négligés. On utilise un axe Ox horizontal, orienté par le vecteur unitaire et on repère la position du centre d'inertie du solide G de masse M , de valeur inconnue, par son abscisse x sur cet axe .À l'équilibre (ressort ni allongé, ni comprimé), l'abscisse x est nulle (le point G est confondu avec le point O). À un instant choisi comme origine des temps, la masse est écartée de sa position équilibre, et lâchée sans vitesse initiale. Le système oscille. Il n'y a pas de frottement.

a) faire l'étude mécanique du système 'masse M'.

b) Établir l'équation différentielle du mouvement de la masse M :

c) Déterminer l'expression de la pulsation propre wo puis de la période propre To en fonction de k et M.

d) On mesure une durée de dix oscillations et on obtient 10,6 seconde. Calculer To.

Q3

On modifie les conditions initiales. A t = O l'abscisse x du point G est xo = 0 et la vitesse est Vx (0) = 2 cm.s-1.

a) Vérifier que la solution de l'équation différentielle du mouvement est de la forme :

x = Xm.cos (wot+b)

b) A l'aide des conditions initiales déterminer :       

- l'expression littérale Xm (en fonction de Vx k et M)

- la valeur de b.

On prendra : 0<b<2.P et Xm>0

c) Dans quel sens se déplace le solide juste après l'instant initial?

Q4

La masse précédente est surchargée d'une masse m fixée sur M. ce nouveau système est mis en oscillation comme le précédent. La nouvelle durée de 10 oscillations est alors de 10,7 s. La surcharge m est de 20 g.

a) Exprimer la nouvelle période T1 en fonction de M, m et k.

b) En déduire l'expression de k en fonction de To , T1 et m.

c) Calculer la valeur de k. Déterminer sa différence relative par rapport à celle trouvée par la méthode statique. Conclusion.

Q5

a) Déterminer l'énergie mécanique initiale. Em(i) (conditions initiales de la question Q3). On prendra la valeur de k trouvée de manière statique, et on en déduira la valeur de M à l'aide des données expérimentales.

b) En déduire la valeur de l'énergie potentiel élastique maximale Epe(max).

c) Tracer l'allure des courbes représentant les variations de l'énergie mécanique Em(t) , potentiel élastique Epe(t), et cinétique Ec(t) au cours du temps.