Chapitre 15 : énergie mécanique

LE HOCKEY SUR GAZON (Amérique du Nord 2009 5 points) corrigé

Pratiqué depuis l'Antiquité sous le nom de « jeu de crosses », le hockey sur gazon est un sport olympique depuis 1908. Il se pratique sur une pelouse naturelle ou
synthétique, de dimensions quasi identiques à celles d'un terrain de football. Chaque joueur propulse la balle avec une crosse ; l'objectif étant de mettre la balle dans le
but. Dans cet exercice, on étudie le mouvement de la balle de centre d'inertie G et de masse m, dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Cette étude peut être décomposée en deux phases.

Figure 1

Figure 2

Figure 3

Figure 4

Les parties A, B et C sont indépendantes.

A - Première phase

Durant cette phase, on néglige toutes les actions liées à l'air ainsi que le poids de
la balle.

1. La première phase est illustrée par les figures 1 et 2 représentées sur la
photographie ci-dessus et schématisée par la figure 4.

Au point A, la balle est immobile. Entre les points A et B, elle reste en contact
avec la crosse. La force exercée par la crosse sur la balle, supposée
constante, est représentée sur la figure 4. Le segment AB représentant la
trajectoire de la balle est incliné d'un angle a = 30° avec l'horizontale.

Données : - masse de la balle : m = 160 g

- intensité du champ de pesanteur : g = 9,8 m.s-2.

1.1. Énoncer la deuxième loi de Newton et l'appliquer à la balle lors de son trajet
entre A et B.

1.2. Que peut-on dire de la nature du mouvement de la balle entre A et B ?

2. La force s'exerce pendant une durée Dt = 0,11 s. La balle part du point A sans
vitesse initiale et arrive en B avec une vitesse telle que vB =14 m.s-1.

2.1. Donner l'expression du vecteur accélération en fonction du vecteur vitesse.

2.2. Calculer la valeur de l'accélération du centre d'inertie de la balle entre les
points A et B.

3. En utilisant les résultats obtenus en 1.1.2, calculer l'intensité de la force exercée
sur la balle par la crosse. L'hypothèse concernant le poids de la balle est-elle
justifiée ?

B - Deuxième phase

Au point B, la balle quitte la crosse à la date t = 0 avec le vecteur vitesse contenu
dans le plan (xOz) ; c'est la deuxième phase du mouvement correspondant à la
figure 3 de la photographie. On néglige toutes les actions liées à l'air.

On étudie le mouvement du centre d'inertie G de la balle dans le champ de
pesanteur supposé uniforme. Le système d'axes utilisé est représenté sur le schéma ci-dessous : l'axe Ox est
horizontal dirigé vers la droite et Oz est vertical et dirigé vers le haut. L'origine des axes est située à la verticale du point B telle que OB = h = 0,40 m.

1. Trajectoire de la balle.

1.1. Donner l'expression des coordonnées vBx et vBz du vecteur vitesse de la
balle à l'instant t = 0 s, en fonction de vB et de a.

1.2 Donner l'expression des coordonnées xB et zB du vecteur de la balle au
point B.

1.3. En appliquant la deuxième loi de Newton, on obtient les équations horaires suivantes :

Montrer que la valeur vs de la vitesse de la balle au sommet S de la
trajectoire est vs = 12 m.s-1.

1.4. Montrer que les coordonnées du vecteur position du centre d'inertie de la
balle sont les suivantes :

1.5. En déduire l'équation de la trajectoire de la balle.

2. La ligne de but est située à une distance d = 15 m du point O. La hauteur du but
est L = 2,14 m. On néglige le diamètre de la balle devant la hauteur du but.

2.1. Quelles conditions doivent satisfaire x et z pour que le but soit marqué ?

2.2. Vérifier que ces conditions sont bien réalisées.

C - Étude énergétique

Le même tir est réalisé du milieu du terrain à une distance du but supérieure à 15 m.

On rappelle les valeurs suivantes ; OB = h = 0,40 m ; vB = 14 m.s-1 ; vitesse au
sommet S de la trajectoire : vS = 12 m.s-1. L'énergie potentielle de pesanteur Ep(0) est choisie nulle à l'altitude z = 0.

1. Donner l'expression littérale de l'énergie potentielle de pesanteur EP puis celle de
l'énergie mécanique EM de la balle en fonction de g, m, v et z.

2. Calculer l'énergie mécanique EM(B) de la balle au point B.

3. Toutes les actions de l'air sont négligées.

3.1. Que peut-on dire de la valeur de l'énergie mécanique EM de la balle au cours
de son mouvement ?

3.2. Exprimer l'altitude maximale zmax que pourrait atteindre la balle au point S
dans ces conditions, en fonction de EM, vs, m et g.

Calculer la valeur de zmax.